Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan x^2+3x+p=0, dengan x1 dan x2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika x1+x2, x1 x2, dan x1^2 x2^2 merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, maka p=⋯

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »     ›  

Diketahui \(x_1\) dan \(x_2\) akar-akar real persamaan \(x^2+3x+p=0\), dengan \(x_1\) dan \(x_2\) kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika \( x_1+x_2, \ x_1 x_2 \), dan \( x_1^2 x_2^2 \) merupakan tiga suku pertama barisan aritmatika, maka \( p = \cdots \)

  1. -3
  2. -1
  3. 0
  4. 1
  5. 3

(Soal SBMPTN 2014)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus terkait penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat dari \( x^2+3x+p=0 \), yakni:

\begin{aligned} x_1+x_2 &= -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3 \\[8pt] x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{p}{1}=p \\[8pt] x_1^2 \cdot x_2^2 &= (x_1 \cdot x_2)^2 = p^2 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka barisan aritmatika yg diperoleh yaitu: \(-3, p, p^2\). Selanjutnya, berdasarkan rumus barisan aritmatika, diperoleh:

\begin{aligned} 2U_2 &= U_1 + U_3 \\[8pt] 2p &= -3+p^2 \\[8pt] p^2-2p-3 &= 0 \\[8pt] (p-3)(p+1) &= 0 \\[8pt] p=3 \ \text{atau} \ p &= -1 \end{aligned}

Untuk \(p=3\) tidak memenuhi karena mengakibatkan \( x^2+3x+p=0 \) akar-akarnya tidak real, sehingga nilai \(p\) yang memenuhi adalah untuk \(p=-1\).

Jawaban B.